• Révisions générales
  • Ensembles de nombres
  • Manipulations standards
  • Fonctions usuelles
  • Trigonométrie
  • Notations Somme et Produit
• Limite
• Dérivabilité
• Développements limités
• Dérivées partielles

• Connaître quelques propriétés de \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\)
• Savoir manipuler des puissances (en particulier avec \(e^x\) et \(\ln{x}\))
• Savoir résoudre des équations et des inéquations
• Connaître les valeurs et les identités remarquables en trigonométrie
• Utiliser les fonctions trigonométriques inverses
• Manipuler les notations somme et produit

On rappelle l’existence de d’ensembles de nombres déjà vu dans les classes antérieures:

• \(\mathbb{N}\): les entiers naturels (entiers positifs)
• \(\mathbb{Z}\): les entiers relatifs (entiers positifs et leurs opposés)
• \(\mathbb{Q}\): les rationnels (fractions d’entiers)
• \(\mathbb{R}\): les nombres réels (tous ceux qui peuvent apparaître comme la mesure de quelques chose et leurs opposés). La majorité des nombres réels ne sont pas rationnels: \(\sqrt{2}, \pi, e\).
• \(\mathbb{C}\): les nombres complexes (très utiles pour factoriser des polynômes ou représenter des courants électromagnétiques)

Remarque On note que \(n! = n \times (n-1)!\).

On donne ici les valeurs de \(n!\) pour de faibles valeurs de \(n\)

Tout nombre entier \(n\) est soit pair, soit impair.

• Si \(n\) est pair, il existe un unique entier \(p\) tel que \(n = 2p\)
• Si \(n\) est impair, il existe un unique entier \(p\) tel que \(n = 2p+1\)

Généralisation (division euclidienne)

Pour tout entier naturel \(n\) et tout entier naturel non num \(d\), il existe un unique couple d’entiers \((q, r)\) tel que: \[ n = dq + r \text{ et } 0 \leq r \leq d-1 \] \(n\) est divisible par \(d\) si et seulement si \(r = 0\).

Remarque

\(\sqrt{2}, \pi, e\) sont des nombres irrationnels. La nécessité de construire \(\mathbb{R}\) provient de raisons non-algébriques, pour manipuler des quantités d’intérêt (en géométrie pour \(\sqrt{2}\) et \(\pi\), en calculs d’intérêts pour \(e\)) qu’on ne peut pas exprimer comme des fractions d’entiers.

Remarque Un intervalle est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\) sans “trous”, sans discontinuité.

Il y a 3 types d’intervalles:

• ouvert: \(]a, b[ = \{ x \in \mathbb{R} \quad \text{tels que} \quad a < x < b \}\) avec \(a\) et \(b\) dans \(\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\)
• semi-ouvert: \([a, b[ = \{ x \in \mathbb{R} \quad \text{tels que} \quad a \leq x < b \}\) avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\) ou \(]a, b]\) avec des contraintes sumilaires.
• fermés: \([a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \quad \text{tels que} \quad a \leq x \leq b \}\) avec \(a\) et \(b\) dans \(\mathbb{R}\)

Intuitivement:

• \(M\) est plus grand que tous les nombres de \(A\)
• \(m\) est plus petit que tous les nombres de \(A\)

Traduire avec des quantificateurs les deux propositions suivantes:

• \(A\) n’est pas majorée.
• \(A\) n’est pas minorée.

Est-ce possible si \(A\) est fini? Pourquoi?

Si \(M\) majore \(A\), alors tout \(x \geq M\) aussi. On cherche le plus petit majorant.

Questions - Quelles parties de \(\mathbb{R}\) admettent un maximum? un minimum?

Réponses partielles

• Toute partie finie de \(\mathbb{R}\) admet un maximum et un minimum
• Toute partie majorée (resp. minorée) de \(\mathbb{Z}\) admet un maximum (resp. un minimum). Mais ce n’est plus vrai avec \(\mathbb{Q}\).

À connaitre

• Développer / Factoriser
• Identités remarquables
• Manipulation de puissances (\(e^x\) et \(\ln\))
• Trigonométrie

Interdit

• Diviser par \(0\)
• Racine d’un nombre négatif
• logarithme d’un nombre négatif ou nul

Soit \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\) est définie par \[|x| = \max(x, -x)\]

Soit \(x \in \mathbb{R}\), la partie entière de \(x\), notée \(\lfloor x \rfloor\) est définie par \[\lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z} \quad \text{et} \quad \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1\]

Simplifier les expressions suivantes:

• \(\lfloor \pi \rfloor\),
• \(\lfloor 0.99 \rfloor\), \(\lfloor 1 \rfloor\), \(\lfloor 1.01 \rfloor\)
• \(\lfloor -0.99 \rfloor\), \(\lfloor -1 \rfloor\), \(\lfloor -1.01 \rfloor\)

Résoudre les équations d’inconnue \(x\) suivantes:

• \(\lfloor 2x + 1 \rfloor= 3\).
• \(|2x + 1| = 3\)

Rapppels

• Si \(a > 0\), \(\sqrt[n]{a}\) est l’unique réel positif tel que \((\sqrt[n]{a})^n = a\).
• Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2} = |x|\) (et non pas \(x\)). La racine carrée est positive.

Il y a deux grandes types d’équations:

• les polynômiales
• les autres

Pour les polynömiales, il faut savoir résoudre des équations de degré \(1\) et \(2\) et factoriser à partir de racines évidentes pour les celles de degrés supérieures. Pour les autres, il faut utiliser des astuces ad-hoc (mais avec quelques astuces classiques dont le changement de variables).

En présence de paramètres, il faut parfois faire des disjonctions de cas pour éviter de faire des opérations interdites.

Résoudre, en fonction des paramètres \(a\) et \(b\), les équations suivantes:

• \(ax = b\)
• \(ax +b = bx +a\)
• \(e^x = a\)
• \(ax^2 - 2bx + 2 = 0\)

Résoudre les équations (de \(X\)) suivantes:

• \(X^3 - X^2 + X - 1 = 0\)
• \(X^4 + X^2 - 1 = 0\).

Résoudre les équations (de \(x\)) suivantes:

• \(3x^4 + 5x^2 - 2 = 0\)
• \((\ln x)^2 + 3\ln x + 2 = 0\)
• \(x = \sqrt{x} + 2\)
• \(e^x - e^{-x} = 2\)
• \(x^2 - 3x + 4 + \frac{8 - 6x}{x^2 - 2} = 0\)

• \(a \geq b\) équivaut à \(-a \leq -b\) [changement de signe]
• Si \(a\) et \(b\) ont même signe, \(a \leq b\) équivaut à \(\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}\)
• On peut additionner des égalités de même sens: si \(a \leq b\) et \(c \leq d\) alors \(a+c \leq b+d\).
• Si \(a, b, c, d\) sont positifs, on peut multiplier des inégalités: si \(a \leq b\) et \(c \leq d\) alors \(ac \leq bd\)
• Si \(f\) est une fonction croissante sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\) et \(a\) et \(b\) sont des éléments de \(I\) tels que \(a \leq b\), alors \(f(a) \leq f(b)\).
• Si \(f\) est une fonction décroissante sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\) et \(a\) et \(b\) sont des éléments de \(I\) tels que \(a \leq b\), alors \(f(a) \geq f(b)\).

Cette égalité vient de la géométrie: dans un triangle, la sommes des longueurs de deux côtés est toujours supérieure ou égale à celle du troisième (avec égalité si et seulement si le triangle est aplati).

Résoudre les inégalités suivantes:

• \(\ln(3x) \leq \ln(2x)\)
• \(3.2^{3x-4} \geq 7^8\)
• \(5\left( \frac{1}{3} \right)^{x} \leq 10^{-10}\)
• \(\sqrt{x} \geq x + 1\)

La mesure en radians d’un angle \(\alpha\) est la longueur d’un arc de cercle de rayon \(1\) délimité par cet angle.

Plus généralement, soit \(\mathcal{C}\) est un cercle de centre \(O\) et de rayon \(R\). On considère deux points \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{C}\).

La mesure principale de l’angle \(\hat{AOB}\) est l’unique réel \(\alpha\) tel que

• \(\alpha \in [0, 2\pi [\)
• la longeur de l’arc de cercle délimité par le secteur angulaire \(\hat{AOB}\) est \(R\alpha\), et son aire est \(\frac{\alpha}{2}R^2\)

• Soit \(\theta \in \mathbb{R}\), on a \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\)
• Réciproquement, pour tout couple \((\alpha, \beta)\) de nombres réels tels que \(\alpha^2 + \beta^2 = 1\), il existe un réel \(\theta\) tel que \(\alpha = \cos(\theta)\) et \(\beta = \sin(\theta)\).

Les deux propriétés traduisent le fait que le point \(M\) de coordonnées \((\alpha, \beta)\) est sur le cercle trignométrique (celui de centre \(O = (0, 0)\) et de rayon \(1\)).

• Pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), \(\cos(k\pi) = (-1)^k\), \(\sin(k\pi) = \tan(k\pi) = 0\)
• Pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), \(\cos(\pi/2 + k\pi) = 0\), \(\sin(\pi/2 + k\pi) = (-1)^k\) et \(\tan(\pi/2 + k\pi)\) n’est pas défini.
• \(\cos(\pi/3) = \sin(\pi/6) = \frac{1}{2}\)
• \(\cos(\pi/6) = \sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\tan(\pi/3) = \frac{1}{\tan(\pi/6)} = \sqrt{3}\)
• \(\tan(\pi/4) = 1\).

Seules les deux premières sont nécessaires, les autres s’en déduisent.

Pour tout couple de réels \((a, b)\), on a:

• \(\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\) \(\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\)
• \(\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\)
• \(\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)\)

Et sous réserve que les tangentes soient bien définies

• \(\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}\)
• \(\tan(a-b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}\)

Elles se démontrent à partir des formules d’addition (voir feuille d’exercice)

Pour tout couple de réels \((a, b)\), on a:

• \(\cos(a) + \cos(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\)
• \(\sin(a) + \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\)

En cas de doute, n’hésitez pas à tester ces formules sur des valeurs connues (par exemple \(a = b\) ou \(a = -b\)) pour vérifier que vous avez la bonne formule. .

Le cas \(a=b\) correspond à un cas particulier d’intérêt (appelé angle double). Les formules d’additions se simplifient alors en

• \(\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)\)
• \(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\)
• \(\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}\)

Soit \(u\) un réel donné, on cherche à résoudre en \(x\):

• \(\cos(u)=\cos(x)\)

\(x\) est solution \(\Leftrightarrow \begin{cases} \exists k\in \mathbb{Z} \text{ tel que } x = u + 2k\pi \\ \text{OU} \\ \exists k\in \mathbb{Z} \text{ tel que } x = -u + 2k\pi\end{cases}\)

• \(\sin(u)=\sin(x)\)

\(x\) est solution \(\Leftrightarrow \begin{cases} \exists k\in \mathbb{Z} \text{ tel que } x = u + 2k\pi \\ \text{OU} \\ \exists k\in \mathbb{Z} \text{ tel que } x = \pi-u + 2k\pi\end{cases}\)

Attention à ne pas oublier le OU du système.

Soit \(u\) un réel donnéon cherche à résoudre en \(x\).

• \(\tan(u)=\tan(x)\) (où \(u\) n’est pas de la forme \(\pi/2 + k\pi\))

\(x\) est solution si et seulement si \(\exists k\in \mathbb{Z}\) tel que \(x = u + k\pi\)

• \(\sin(u)=\sin(x)\) ET \(\cos(u)=\cos(x)\)

\(x\) est solution si et seulement si \(\exists k\in \mathbb{Z}\) tel que \(x = u + 2k\pi\)

• La donnée de \(\cos(x)\), \(\sin(x)\) ou \(\tan(x)\) ne permet pas de complétement caractériser \(x\)
• La donnée de \(\cos(x)\) et \(\sin(x)\) permet de bien caractériser \(x\)…
• …mais il reste toujours une infinité de solutions (égales à \(2\pi\) près).

Résoudre les équations suivantes:

• \(\cos(x) = \frac{1}{2}\)
• \(\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\tan(3x) = 1\)

• Pour tout réel \(x \in [-1, 1]\), l’équation d’inconnue \(\theta\) \(\cos(\theta) = x\) admet une unique solution dans \([0, \pi]\). Cette solution est appelée \(\arccos(x)\).
• Pour tout réel \(x \in [-1, 1]\), l’équation d’inconnue \(\theta\) \(\sin(\theta) = x\) admet une unique solution dans \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\). Cette solution est appelée \(\arcsin(x)\).
• Pour tout réel \(x \in \mathbb{R}\), l’équation d’inconnue \(\theta\) \(\tan(\theta) = x\) admet une unique solution dans \(\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\). Cette solution est appelée \(\arctan(x)\).

Attention à l’intervalle auquel appartient \(\theta\)!!

• \(\cos(x)=a\)
  • Si \(a \notin [-1, 1]\): pas de solution
  • Si \(a \in [-1, 1]\): \(x\) est solution si et seulement si \(\begin{cases} \exists k\in \mathbb{Z} \text{ tel que } x = \arccos(a) + 2k\pi \text{ OU} \\ \exists k\in \mathbb{Z} \text{ tel que } x = -\arccos(a) + 2k\pi\end{cases}\)
• \(\sin(x)=a\)
  • Si \(a \notin [-1, 1]\): pas de solution
  • Si \(a \in [-1, 1]\): \(x\) est solution si et seulement si \(\begin{cases} \exists k\in \mathbb{Z} \text{ tel que } x = \arcsin(a) + 2k\pi \text{ OU} \\ \exists k\in \mathbb{Z} \text{ tel que } x = \pi -\arcsin(a) + 2k\pi\end{cases}\)

• \(\tan(x)=a\)

\(x\) est solution si et seulement si \(\exists k\in \mathbb{Z}\) tel que \(x = \arctan(a) + k\pi\)

La deuxième formulation est plus générale que la première.

Attention, si on demande les solutions dans un intervalle donnée (par exemple \([0, \pi]\)), il faut sélectionner uniquement les valeurs de \(k\) tel que \(x\) soit dans le bon intervalle. Par exemple, les solutions de \(\sin(x) = 1\) dans \([0, 4\pi]\) sont \(x = \frac{\pi}{2}\) et \(x = \frac{5\pi}{2}\)

• Si \(a = b = 0\), on peut prendre \(R = \psi = \phi = 0\).
• Sinon, on pose \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\). On a alors: \[ a\cos(x) + b\sin(x) = R \left( \frac{a}{R}\cos(x) + \frac{b}{R}\sin(x) \right) \] On remarque que \((a/R)^2 + (b/R)^2 = 1\), il existe donc \(\psi\) tel que \[\cos(\psi) = a/R \text{ et } \sin(\psi) = b/R\] On conclut avec les formules d’addition.

Résoudre les équations suivantes, dans \(\mathbb{R}\) puis dans \([0, 2\pi]\):

• \(\sin(2x) = \frac{1}{2}\)
• \(\sin(nx) = 0\)
• \(\sin(2x) + \sin(x) = 0\)
• \(\cos(x) + \sin(x) = 1\)
• \(\sqrt{3}\cos(2x) + \sin(2x) > 0\)

On utilise les signes \(\sum\) et \(\prod\) pour désigner des sommes et des produits

\[ \sum_{i = 0}^n u_i = u_0 + u_1 + \dots + u_{n-1} + u_n\]

\[ \prod_{i = 0}^n u_i = u_0 \times u_1 \times \dots \times u_{n-1} \times u_n\]

L’ensemble des valeurs prises par l’indice \(i\) est ici \(\{0, 1, \dots, n-1, n\}\) mais il peut bien sûr être différent. Par exemple, pour tout \(n \geq 1\), on a \[n! = \prod_{i=1}^n i\].

La variable \(i\) dans la notation précédente est dite muette, elle n’a de sens qu’à l’intérieur de CE symbole \(\sum\) (ou \(\prod\)).

Autrement dit les \(i\) situés à l’extérieur du symbole \(\sum\) sont complétement indépendants des \(i\) situés à l’intérieur du symbole \(\sum\).

On peut donc remplacer le symbole \(i\) par un autre, par exemple \(j\), à condition de rester cohérent: \[ \sum_{i = 0}^n u_i = \sum_{j = 0}^n u_j\]

Calculer

• \(\sum_{i=1}^n 1\)
  
• \(\sum_{i=1}^n i \quad\) (voir exercice de récurrence)
• \(\sum_{i=1}^n n\)
  
• \(\sum_{i=1}^n (-1)^i\)
• \(\sum_{i=1}^n (-1)^n\)

Conseil: Posez clairement le changement de variable et faites le en 3 étapes

• Variable Posons \(j = i+1\)
• Bornes Lorsque \(i\) vaut \(1\), \(j\) vaut \(2\) et lorsque \(i\) vaut \(n\), \(j\) vaut \(n+1\).
• Corps de la somme Remplaçons tous les \(i\) par des \(j-1\)

En posant \(j = k-1\), montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \[\sum_{k=1}^n k^2 = n + 2\sum_{j=1}^{n-1} j + \sum_{j=0}^{n-1} j^2\]

On peut démontrer tous ces résultats par récurrence.

• \(\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\)
• \(\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
• \(\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\)

Cette formule sert dans tous les chapitres. Vous la connaissez en général avec \(n = 1\).