14 octobre 2019

Introduction

Objectifs

  • Savoir étudier les variations d’une fonctions
  • Résoudre problèmes d’optimisation
  • Savoir trier des ordres de grandeur
  • Approfondir la notion de limite

Domaine d’étude d’une fonction: parité

En général une fonction \(f\) est donnée par son expression \(f(x)\). Pour se ramener à une application il faut détérminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\), c’est à dire l’ensemble des \(x\) pour lesquels l’expression \(f(x)\) a du sens.

une fonction \(f\) est dite paire (resp. impaire) lorsque
  • \(D_f\) est stable par passage à l’opposé, c’est à dire que si \(x \in D_f\), alors \(-x \in D_f\).
  • \(\forall x \in D_f f(-x) = f(x)\) (resp. \(\forall x \in D_f f(-x) = -f(x)\))

Exemples

  • \(\cos(x)\) est paire, \(\sin(x)\) est impaire.

Domaine d’étude d’une fonction: parité

  • Si \(f\) est paire, le graphe \(C_f\) de \(f\) est symétrique par rapport à l’axe \((Oy)\). Si \(f\) est dérivable, sa dérivée est impaire.
  • Si \(f\) est impaire, le graphe \(C_f\) de \(f\) est symétrique par rapport au point \((0, 0)\). De plus, si \(0 \in D_f\), alors \(f(0) = 0\). Si \(f\) est dérivable, sa dérivée est paire.

Fonction paire

Fonction impaire

Fonction nulle

Une fonction est dite identiquement nulle sur un ensemble \(I\) lorsque \[\forall x \in I, f(x) = 0\]

Périodicité

une fonction \(f\) est dite périodique de période \(T > 0\) lorsque
  • \(D_f\) est stable par translation, c’est à dire que si \(x \in D_f\), alors \(x + T \in D_f\).
  • \(\forall x \in D_f f(x + T) = f(x)\)

En général, on utilise la périodicité pour n’étudier \(f\) que sur une période et la parité pour ne l’étudier que sur une moitité du domaine de définition (par exemple \(D_f \cap \mathbb{R}_+\)).

Fonction périodique

Exercices

Donner le domaine de définition et les éventuelles (im)parité/périodicité des fonctions suivantes:

  • \(f(x) = e^x + e^{-x}\)
  • \(f(x) = e^x - e^{-x}\)
  • \(f(x) = x + \ln(x)\)
  • \(f(x) = e^{x}\frac{x+1}{x -1}\)
  • \(f(x) = \ln\left|\frac{x+1}{x-1} \right|\)
  • \(f(x) = \ln(\cos(x))\)
  • \(f(x) = \ln|\cos(x)|\)
  • \(f(x) = e^{\tan(x)} - \tan(x)\)

Limite: Définition formelle (Optionnel)

\(\bar{\mathbb{R}}\) et la notion de voisinage

Dans la suite, \(a \in \bar{\mathbb{R}}\) signifie que \(a\) est un réel, ou \(+\infty\) ou \(-\infty\).

En analyse, beaucoup de notions sont locales: il suffit de connaître \(f\) “autour” de \(a\) pour savoir si elle est continue/dérivable/de classe \(\mathcal{C}^k\) en \(a\). Pour formaliser cette notion de proximité, on va définir la notion de “voisinage de \(a\)”.

Soit \(P(x)\) un propriété portant sur \(x \in \mathbb{R}\), (par exemple \(P(x)\) = “\(x > 10\)”) et \(a \in \bar{\mathbb{R}}\).

Voisinage d’un point

  • \(P(x)\) est vraie au voisinage de \(+\infty\) si il existe \(A \in \mathbb{R}\) tel que \(P(x)\) est vraie pour tout \(x \in [A, +\infty[\). Autrement dit, \(P(x)\) est vraie pour \(x\) suffisamment grand.

  • \(P(x)\) est vraie au voisinage de \(-\infty\) si il existe \(A \in \mathbb{R}\) tel que \(P(x)\) est vraie pour tout \(x \in ]-\infty, A]\). Autrement dit, \(P(x)\) est vraie pour \(x\) suffisamment petit.

  • \(P(x)\) est vraie au voisinage de \(a \in \mathbb{R}\) si il existe \(\delta > 0\) tel que \(P(x)\) est vraie pour tout \(x \in ]a-\delta, a + \delta[\). Autrement dit, \(P(x)\) est vraie pour \(x\) suffisamment proche de \(a\).

Voisinage à gauche, à droite

  • \(P(x)\) est vraie au voisinage de \(a \in \mathbb{R}\) à droite si il existe \(\delta > 0\) tel que \(P(x)\) est vraie pour tout \(x \in ]a, a + \delta[\). Autrement dit, \(P(x)\) est vraie pour \(x\) suffisamment proche de \(a\) tout étant strictement supérieur à \(a\).

  • \(P(x)\) est vraie au voisinage de \(a \in \mathbb{R}\) à gauche si il existe \(\delta > 0\) tel que \(P(x)\) est vraie pour tout \(x \in ]a-\delta, a[\). Autrement dit, \(P(x)\) est vraie pour \(x\) suffisamment proche de \(a\) tout étant strictement inférieur à \(a\).

Remarques

Les notions de voisinage à droite de \(+\infty\) et à gauche de \(-\infty\) n’ont pas de sens (pourquoi?). La notion de voisinage permet de mettre en évidence le caractère local d’une propriété.

Voisinage illustration

Exercices

Écrire avec des quantificateurs que

  • \(f\) est définie au voisinage de \(2\)
  • \(g\) est positive au voisinage de \(+\infty\)
  • \(h\) est proche de \(3\) à \(10^{-6}\) près au voisinage de 4

Limite infinie à l’infini

Soit \(f: A \to B\) une fonction numérique. On suppose que \(f\) est définie au voisinage de \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)).

Limite infinie en \(\pm \infty\)

On dit que \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\), noté \(\lim_{+\infty} f = +\infty\), si pour tout réel \(M\) (arbitrairement grand), \(f(x)\) est plus grand que \(M\) pour \(x\) assez grand (proche de \(\infty\)). \[\forall M \in \mathbb{R}, \exists A \in \mathbb{R} \text{ tel que } \forall x \in D_f, x \in ]A, +\infty[ \Rightarrow f(x) > M\]

On dit que \(f\) tend vers \(-\infty\) en \(+\infty\), noté \(\lim_{-\infty} f = +\infty\), si pour tout réel \(M\) (arbitrairement petit), \(f(x)\) est plus petit que \(M\) pour \(x\) assez grand (proche de \(\infty\)) \[\forall M \in \mathbb{R}, \exists A \in \mathbb{R} \text{ tel que } \forall x \in D_f, x \in ]A, +\infty[ \Rightarrow f(x) < M\]

Limite finie à l’infini.

Soit \(l \in \mathbb{R}\).

On dit que \(f\) tend vers \(l\) en \(+\infty\), noté \(\lim_{+\infty} f = l\), si pour tout réel \(\varepsilon > 0\) (arbitrairement proche de \(0\)), \(f(x)\) est proche de \(l\) à moins de \(\varepsilon\) pour \(x\) assez grand (proche de \(\infty\)). \[\forall \varepsilon > 0, \exists A \in \mathbb{R} \text{ tel que } \forall x \in D_f, x \in ]A, +\infty[ \Rightarrow | f(x) - l | \leq \varepsilon\]

Exemple

Exercices

Écrire la définition formelle (avec des quantificateurs) de

  • \(\lim_{-\infty} f = +\infty\)
  • \(\lim_{-\infty} f = -\infty\)
  • \(\lim_{-\infty} f = l\)

Limite infinie en un point

Soit \(f\) une fonction et \(D_f\) son domaine de définition. Soit \(a \in \mathbb{R}\) tel que

  • \(a \in D_f\) (\(f\) est alors définie en \(a\))
  • \(a\) est une borne de \(a\) (\(f\) est définie sur un voisinage de \(a\) mais pas en \(a\))

Pour la limite infinie, \(a \notin D_f\). On dit que \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(a\), noté \(\lim_{a} f = +\infty\), si pour tout réel \(M\) (arbitrairement grand), \(f(x)\) est plus grand que \(M\) pour \(x\) assez proche de \(a\)). \[\forall M \in \mathbb{R}, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \forall x \in D_f, |x - a| \leq \delta \Rightarrow f(x) > M\]

Limite finie en un point

On dit que \(f\) tend vers \(l\) en \(a\), noté \(\lim_{a} f = l\), si pour tout réel \(\varepsilon > 0\) (arbitrairement proche de \(0\)), \(f(x)\) est proche de \(l\) (à \(\varepsilon\) près) pour \(x\) assez proche de \(a\)). \[\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \forall x \in D_f, |x - a| \leq \delta \Rightarrow | f(x) - l | \leq \varepsilon\]

Exemple

Limite à gauche/à droite en un point

Soit \(f\) définie au voisinage à gauche de \(a\). On dit que \(f\) tend vers \(l\) à gauche en \(a\), noté \(\lim_{a^-} f = l\), si pour tout réel \(\varepsilon > 0\) (arbitrairement proche de \(0\)), \(f(x)\) est proche de \(l\) (à \(\varepsilon\) près) pour \(x\) assez proche de \(a\) par valeurs inférieures). \[\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \forall x \in D_f, x \in ]a-\delta, a[ \Rightarrow | f(x) - l | \leq \varepsilon\]

On a une définition similaire pour \(\lim_{a^+} f\), la limite à droite en \(a\) (voir exercices).

Exercices

Écrire la définition formelle (avec des quantificateurs) de

  • \(\lim_{a} f = -\infty\)
  • \(\lim_{a^-} f = +\infty\)
  • \(\lim_{a^+} f = +\infty\)
  • \(\lim_{a^+} f = l\)

Propriétés des limites

Unicité de la limite

Soit \(a \in \bar{\mathbb{R}}\). Si \(f\) admet une limite en \(a\) (resp. une limite à gauche ou une limite à droite), alors cette limite est unique.

Soit \(a \in \mathbb{R}\). Si \(f\) admet une limite en \(a\) et est définie en \(a\), alors cette limite est forcément \(f(a)\).

Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \(f\) définie au voisinage de \(a\) (sauf peut-être en \(a\)).
  • Si \(f\) n’est pas définie en \(a\), \(f\) admet une limite en \(a\) si et seulement si elle admet une limite à gauche et une limite à droite en \(a\) et que ces limites sont égales.
  • Si \(f\) est définie en \(a\), \(f\) admet une limite en \(a\) si et seulement si elle admet une limite à gauche et une limite à droite en \(a\) et que ces limites sont égales à \(f(a)\).

Opération sur les limites

Théorèmes d’opérations

En pratique, on revient rarement à la définition formelle de la limite. On se sert plutôt des “théorèmes d’opérations”" qui permettent de calculer des limites complexes en combinant des limites élémentaires.

Somme de limite

Soit \(a \in \bar{\mathbb{R}}\) et deux fonctions \(f\) et \(g\) telles que \(\lim_a f = l\) et \(\lim_a g = m\), alors la limite éventuelle de \(f+g\) en \(a\) est donnée par

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & l = -\infty & l \in \mathbb{R} & l = +\infty \hspace{1.5em} \\ \hline m = -\infty & -\infty & -\infty & Ind \\ \hline m \in \mathbb{R} & -\infty & l + m & +\infty \\ \hline m = +\infty & Ind & +\infty & +\infty \\ \hline \end{array} \]

Où Ind indique une forme indéterminée (ici \(\infty -\infty\))

Produit de limite

Soit \(a \in \bar{\mathbb{R}}\) et deux fonctions \(f\) et \(g\) telles que \(\lim_a f = l\) et \(\lim_a g = m\), alors la limite éventuelle de \(f\times g\) en \(a\) est donnée par

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & l = -\infty & l \in \mathbb{R}_{-}^\star & l = 0 & l \in \mathbb{R}_+^\star & l = +\infty \hspace{1.5em} \\ \hline m = -\infty & +\infty & +\infty & Ind & -\infty & -\infty \\ \hline m \in \mathbb{R}_-^\star & +\infty & ml & 0 & ml & -\infty \\ \hline m = 0 & Ind & 0 & 0 & 0 & Ind \\ \hline m \in \mathbb{R}_+^\star & -\infty & ml & 0 & ml & +\infty \\ \hline m = +\infty & -\infty & -\infty & Ind & +\infty & +\infty \\ \hline \end{array} \]

Les formes indéterminées correspondent à \(0 \times \infty\)

Quotient de limite

Soit \(a \in \bar{\mathbb{R}}\) et \(f\) ne s’annulant pas au voisinage de \(a\) telle que \(\lim_a f = l\).

  • Si \(l = \pm \infty\), alors \(\lim_a \frac{1}{f} = 0\)
  • Si \(l \in \mathbb{R}^\star\), alors \(\lim_a \frac{1}{f} = \frac{1}{l}\)
  • Si \(l = 0\), il y a plusieurs cas.
    • si \(f > 0\) sur un voisinage de \(a\), on a \(\lim_a \frac{1}{f} = +\infty\)
    • si \(f < 0\) sur un voisinage de \(a\), on a \(\lim_a \frac{1}{f} = -\infty\)
    • si \(f\) change de signe sur tous les voisinages de \(a\), la limite est une forme indéterminée.

Pour la limite de \(f/g\), on passe par le produit \(f \times (1/g)\).

Composée de fonctions

Soit \(a, b \in \bar{\mathbb{R}}\). Soient \(f\) et \(g\) telles que \(\lim_a f = b\) et \(\lim_b g = l\) avec (\(l \in \bar{\mathbb{R}}\)). On alors \(\lim_a (g\circ f) = l\).

Fonctions de la forme \(u(x)^{v(x)}\)

Dans le cas de fonctions de la forme \(u(x)^{v(x)}\) on repasse toujours à la forme exponentielle \(u(x)^{v(x)} = e^{v(x) \ln(u(x))}\) et on procède en deux temps:

  • on étudie la limite de \(v(x) \ln(u(x))\)
  • on en déduit la limite recherchée par composition avec l’exponentielle. Attention La forme \(1^{\infty}\) est indéterminée

  • \(\lim_0 \cos(x)^{1/x} = 1\)
  • \(\lim_{0+} (1 + \sin(x))^{1/x^2} = +\infty\)

Théorème d’encadrement (des gendarmes)

Soit \(a, l \in \mathbb{R}\) et \(f, g, h\) définies au voisinage de \(a\) (sauf peut-être en \(a\)).
  • Si pour tout \(x\) au voisinage de \(a\), \(f(x) \leq g(x)\) alors \[ \begin{align*} \lim_a f = +\infty & \Rightarrow \lim_a g = +\infty \\ \lim_a g = -\infty & \Rightarrow \lim_a f = -\infty \end{align*} \]
  • Si Si \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\lim_a f = \lim_a h = l\), alors \(\lim_a g = l\).

Illustration

\(g(x) = x^2\sin(1/x)\) est compris entre \(f(x) = -x^2\) et \(h(x) = x^2\) au voisinage de \(0\) (en fait sur tout \(\mathbb{R}\)) et \(\lim_0 -x^2 = \lim_0 x^2 = 0\) donc \(\lim_0 x^2\sin(1/x) = 0\)

Limites classiques (à savoir)

Voir la feuille sur les fonctions usuelles ainsi que les limites suivantes en \(0\)

  • \(\lim_0 \frac{\sin(x)}{x} = 1\)
  • \(\lim_0 \frac{\tan(x)}{x} = 1\)
  • \(\lim_0 \frac{e^x - 1}{x} = 1\)
  • \(\lim_0 \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\)
  • \(\lim_0 \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}\)

Limites classiques: croissance comparée

Soit \(f(x) = e^{ax} x^b \ln(x)^c\) avec \(x > 0\) et \((a, b, c) \in \mathbb{R}\). La limite en \(+\infty\) de \(f\) est déterminée par \(a\), puis par \(b\) puis par \(c\) comme suit:

  • Si \(a >0\) \(\lim_{+\infty} f(x) = +\infty\)
  • Si \(a <0\) \(\lim_{+\infty} f(x) = 0\)
  • Si \(a = 0\):
    • Si \(b > 0\) \(\lim_{+\infty} f(x) = +\infty\)
    • Si \(b < 0\) \(\lim_{+\infty} f(x) = 0\)
    • Si \(b = 0\):
      • Si \(c > 0\) \(\lim_{+\infty} f(x) = +\infty\)
      • Si \(c < 0\) \(\lim_{+\infty} f(x) = 0\)

Exercices

Calculer les limites suivantes

\[ \begin{array}{ccc} \lim_{+\infty} x^4 e^{-\sqrt{x}} & \lim_{-\infty} e^{3x^2}/x^5 & \lim_{+\infty} x\ln(1 + 1/x) \\ \lim_{0+} \frac{\ln(1+4x)}{x} & \lim_{0+} \frac{\ln(1+x^2)}{x\sqrt{x}} & \lim_{0+} \frac{x}{e^{x^2} - 1} \\ \lim_{0+} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{e^{x} - 1} & \lim_{0+} \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x} & \lim_{0+} \frac{x}{2} \lfloor \frac{3}{x} \rfloor \\ \lim_{1} \frac{x^n - 1}{x^p - 1} & \lim_{0} \frac{\cos(x) - \sqrt{\cos(2x)}}{\sin^2(x)} & \lim_{+\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \\ \lim_{0+} \frac{\ln(x)}{x} & \lim_{+\infty} x^3\ln(1+ 1/x\sqrt{x}) & \lim_{+\infty} \sqrt{x^2 + x + 1} - x \\ \end{array} \]