• Domaine d’étude
• Limites, continuité, dérivabilité et variations
• Comparaison locale de fonction
• Etude locale des fonctions
• Retour sur la limite

• La dérivée est la limite de deux petites quantités qui tendent chacune vers \(0\).
• Elle est utilisée (via son signe) pour étudier les variations (locales) de \(f\) et essayer de trouver les optimas (minima et maxima de \(f\)).
• Elle peut être difficile à calculer rigoureusement

Pour éviter de recalculer \(f'\) from scratch à chaque fois, on vous a invité à apprendre par coeur le formulaire

\[ \begin{align*} \forall \alpha \in \mathbb{R}, \quad (x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1} & &\\ \sin'(x) = \cos(x) & & cos'(x) = -\sin(x) \\ (e^x)' = e^x & & \ln'(x) = \frac{1}{x} \\ (u \times v)' = u'v + uv' & & \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \\ (g \circ f)(x) = f'(x) g'(f(x)) & & (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f' \circ f^{-1} (x)} \end{align*} \]

• Le formulaire utilise des notations compactes et faciles à retenir mais gêne la compréhension
• On va aussi introduire des notations légèrement plus lourdes (très courantes en physique et en sciences expérimentales) qui mettent en évidence les quantités manipulées.
• Il reste néanmoins nécessaire d’avoir en tête le formulaire lors du calcul “effectif” des dérivées.

De façon générale, si deux quantités \(a\) et \(b\) sont liées entre elles par une relation quelconque (algébrique, géométrique, physique, etc), une infime variation de l’une (de \(a\) vers \(a + \text{d}a\)) va entraîner une infime variation de l’autre (de \(b\) vers \(b+\text{d}b\)). \[ \text{Si:} \quad a \to a + \text{d}a \quad \text{alors} \quad b\to b + \text{d}b \]

• La notation \(\text{d}\) dans \(\text{d}a\) et \(\text{d}b\) signale qu’on parle de variations minuscules et même infinitésimales, c’est à dire aussi petites que l’on veut.
• Les physiciens parlent souvent de différentielle (terme emprunté à Leibniz) pour désigner une variation infinitésimale.

• La dérivée peut se concevoir comme le taux de variation de \(b\) par rapport \(a\), c’est à dire comme le quotient \(\displaystyle \frac{\text{d}b}{\text{d}a}\) dans la limite où les variations \(\text{d}a\) et \(\text{d}b\) sont très petites.
• l’idée principale de la dérivée est la suivante

  Si les différentielles sont suffisamment petites, alors elles sont proportionnelles entre elles et le coefficient de multiplication est la dérivée: \[\text{db} = \frac{\text{d}b}{\text{d}a} \text{d}a\]

Dans la notation traditionnelle avec \(f'(x)\), on retrouve bien un rapport entre deux variations infinitésimales:

• \(\text{d}f = f(x+h) - f(x)\) (petite variation de \(f\))
• \(\text{d}x = (x+h) - x\) (petite variation de \(x\))

On voit souvent les deux notations

• \(\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}\) qui insiste sur le rapport entre une petite variation de \(\text{d}f(x)\) et une petite variation de \(\text{d}x\)
• \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}f(x)\) qui insiste sur le fait qu’on dérive par rapport à la quantité \(x\).

Les deux sont à connaître.

On considère un angle qui mesure \(\alpha\) radians. Une variation infime de cet angle, notée \(\text{d}\alpha\), entrainera une minuscule variation de \(\sin(\alpha)\), notée \(\text{d}\sin(\alpha)\). Puisque la dérivée de \(\sin\) est \(\cos\), on la relation de proportionalité suivante entre les variations infinitésimales \[ \text{d}\sin(\alpha) = \cos(\alpha) \text{d}\alpha \] En pratique, la relation précédente est vraie dès que \(\text{d}\alpha\) est suffisamment petit (dans cet exemple, de l’ordre du centi ou milligradient).

On peut donc adopter une définition, moins rigoureuse mais plus pratique, des différentielles: ce sont des variations suffisamment petites pour que la relation de proportionnalité s’appelle (avec une précision raisonnable). [On donnera une définition rigoureuse plus tard]

• Le graphique précédent représente \(b(a)\). Localement, entre \((a, b)\) et \((a + \text{d}a, b + \text{d}b)\), la courbe peut-être confondue avec tangente en \((a, b)\) et le coefficient directeur de cette tangente est \(\frac{\text{d}b}{\text{d}a}\).
• Il apparaît clairement sur le graphique précédent, et en toute généralité, que la valeur \(\frac{\text{d}b}{\text{d}a}\) dépend de \(a\) et qu’il faudrait donc la noter \(\frac{\text{d}b}{\text{d}a}(a)\).
• On peut définir la dérivéé de la dérivée comme \(\text{d}(\frac{\text{d}b}{\text{d}a})/\text{d}a\). Par souci de simplicité, on abrège la notation en \(\frac{\text{d}^2 b}{\text{d}a^2}\)
• De même, la dérivée troisième est notée \(\frac{\text{d}^3 b}{\text{d}a^3}\) et plus généralement la dérivée \(n\)-ème est notée \(\frac{\text{d}^n b}{\text{d}a^n}\)

On peut relier les dérivées successives au comportement du graphe de \(b(a)\) au voisinage de \(a\)

• \(b(a)\) indique la valeur de \(b\) au point \(a\).
• La dérivée première \(\frac{\text{d}b}{\text{d}a}(a)\) indique la pente de la courbe au voisinage de \(a\).
  • Une pente positive (\(\frac{\text{d}b}{\text{d}a} > 0\)) correspond à une fonction localement croissante
  • Une pente négative (\(\frac{\text{d}b}{\text{d}a} < 0\)) correspond à une fonction localement décroissante
  • Une pente nulle (\(\frac{\text{d}b}{\text{d}a} = 0\)) correspond à une absence de pente et à une fonction localement constante

• La dérivée seconde \(\frac{\text{d}^2 b}{\text{d}a^2}(a)\) indique la concavité de la courbe au voisinage de \(a\).
  • Une concavité positive (\(\frac{\text{d}^2b}{\text{d}a^2} > 0\)) correspond à une fonction localement convexe (en forme de creux) en \(a\)
  • Une concavité négative (\(\frac{\text{d}^2b}{\text{d}a^2} < 0\)) correspond à une fonction localement concave (en forme de bosse) en \(a\)
  • Une concavité nulle (\(\frac{\text{d}^2b}{\text{d}a^2} = 0\)) correspond à une absence de courbure et à une fonction localement linéaire en \(a\)

Attention à la variable de dérivation, les variations de \(b\) en réponse aux variations de \(a\) ne sont pas les mêmes que celles de \(b\) en réponse aux variations de \(u = g(a)\).

On considère \(b = a^6\) et \(u = a^2\), de sorte que \(b = u^3\). On a \[ \frac{\text{d}b}{\text{d}a}(a) = 6a^5 \quad \text{mais} \quad \frac{\text{d}b}{\text{d}u}(u) = 3u^2 (\neq 6a^5) \]

Il est très facile de manipuler les différentielles pour retrouver des dérivées compliquées. Il arrive souvent que la variation d’une quantité \(A\) implique la variation d’une quantité \(B\) qui implique la variation d’une quantité \(C\). On a alors des relations de proportionalité entre les différentielles: \[ \text{d}B = \frac{\text{d}B}{\text{d}A} \text{d}A \quad \text{d}C = \frac{\text{d}C}{\text{d}B} \text{d}B \quad \text{d}C = \frac{\text{d}C}{\text{d}A} \text{d}A \] d’où on déduit aisément \[ \frac{\text{d}C}{\text{d}A} = \frac{\text{d}C}{\text{d}B} \times \frac{\text{d}B}{\text{d}A} \]

En alourdissant un peu les notations pour expliciter les points auquels sont calculés les dérivées, on obtient \[ \frac{\text{d}C}{\text{d}A}(A) = \frac{\text{d}C}{\text{d}B}(B) \times \frac{\text{d}B}{\text{d}A}(A) \]

D’où on tire par analogie (avec \(A=x\), \(B=f(x)\) et \(C=(g\circ f)(x)\) la formule fondamentale du calcul différentiel \[ (g \circ f)'(x) = f'(x) g'(f(x)) \]

On peut évidemment généraliser à la composée de plus de deux fonctions.

En posant événtuellement \(u = \omega t + \phi\), calculer la dérivée par rapport à \(t\) de \(\sin(\omega t + \phi)\)

\[ \begin{align*} \frac{\text{d}(\sin(\omega t + \phi))}{\text{d}t}(t) & = \frac{\text{d}\sin(u)}{\text{d}u}(u) \times \frac{\text{d}u}{\text{d}t}(t) \\ & = \cos(u) \times \omega \\ & = \omega \cos(\omega t + \phi) \end{align*} \] On n’oubliera pas de bien tout exprimer en fonction de la variable de dérivation (ici \(t\)).

En combinant le mini-formulaire (exception faite de \((f^{-1})'(x)\)) et le résultat précédent, on retrouve des dérivées connues uniquement comme cas particuliers \[ \begin{align*} (e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)} \\ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \\ (u^\alpha(x))' = \alpha u'(x) u^{\alpha-1}(x)\\ \end{align*} \]

Calculer les dérivées suivantes (en décomposant les calculs et en vous servant du formulaire si besoin) \[ \begin{align*} \frac{\text{d}(\tan(\alpha))}{\text{d}\alpha} & & \frac{\text{d}[1/\cos(\alpha)]}{\text{d}\alpha} \\ \frac{\text{d}[1/\sin(\alpha)]}{\text{d}\alpha} & & \frac{\text{d}[1/\tan(\alpha)]}{\text{d}\alpha} \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \frac{\text{d}(\tan(\alpha))}{\text{d}\alpha} & = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 1 + \tan^2(\alpha)\\ \frac{\text{d}[1/\cos(\alpha)]}{\text{d}\alpha} & = \frac{\sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}\\ \frac{\text{d}[1/\sin(\alpha)]}{\text{d}\alpha} & = -\frac{\cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\\ \frac{\text{d}[1/\tan(\alpha)]}{\text{d}\alpha} & = \frac{-1}{\sin^2(\alpha)} \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \frac{\text{d}[u\ln(u) - u ]}{\text{d}u} & & \frac{\text{d}[(v - 1)e^v]}{\text{d}v}\\ \frac{\text{d}[1/(1+\epsilon^2)]}{\text{d}\epsilon} & & \frac{\text{d}[1/\tan{\alpha}]}{\text{d}\alpha} \\ \frac{\text{d}^2[\sin^2(\theta)]}{\text{d}\theta^2} & & \frac{\text{d}^2[x\sqrt{x}]}{\text{d}x^2} \\ \frac{\text{d}^2[\ln(y)]}{\text{d}y^2} & & \frac{\text{d}^2[z^3+3z^2+3z+1]}{\text{d}z^2} \end{align*} \]

Calculer les dérivées suivantes (en décomposant les calculs et en vous servant du formulaire si besoin) \[ \small \begin{align*} \frac{\text{d}[u\ln(u) - u ]}{\text{d}u} = \ln(u) & & \frac{\text{d}[(v - 1)e^v]}{\text{d}v} = ve^v \\ \frac{\text{d}[1/(1+\epsilon^2)]}{\text{d}\epsilon} = \frac{-2\varepsilon}{(1+\varepsilon^2)^2}& & \frac{\text{d}[1/\tan{\alpha}]}{\text{d}\alpha} = \frac{-1}{\sin^2(\alpha)} \\ \frac{\text{d}^2[\sin^2(\theta)]}{\text{d}\theta^2} = 2\cos(2\theta) & & \frac{\text{d}^2[x\sqrt{x}]}{\text{d}x^2} = \frac{3}{4\sqrt{x}}\\ \frac{\text{d}^2[\ln(y)]}{\text{d}y^2} = \frac{-1}{y^2} & & \frac{\text{d}^2[z^3+3z^2+3z+1]}{\text{d}z^2} = 6z + 6 \end{align*} \]

Calculer les dérivées suivantes (en décomposant les calculs et en vous servant du formulaire si besoin) \[ \begin{align*} \frac{\text{d}[(1+u^3)^4]}{\text{d}u} & & \frac{\text{d}[\sqrt{1+v^2}]}{\text{d}v} \\ \frac{\text{d}[\ln(1-x)]}{\text{d}x} & & \frac{\text{d}[2\sin(\alpha - \frac{\pi}{8})]}{\text{d}\alpha} \\ \frac{\text{d}[\tan^2(\theta)]}{\text{d}\theta} & & \frac{\text{d}[e^{-y^2}]}{\text{d}y} \\ \frac{\text{d}[1/\sqrt{1+u^2}]}{\text{d}u} & & \frac{\text{d}[\sqrt{z^3 + 3z^2 + 3z + 1}]}{\text{d}z} \end{align*} \]

Calculer les dérivées suivantes (en décomposant les calculs et en vous servant du formulaire si besoin) \[ \scriptsize \begin{align*} \frac{\text{d}[(1+u^3)^4]}{\text{d}u} = 12u^2(1+u^3)^3 & & \frac{\text{d}[\sqrt{1+v^2}]}{\text{d}v} = \frac{v}{\sqrt{1+v^2}} \\ \frac{\text{d}[\ln(1-x)]}{\text{d}x} = \frac{-1}{1 - x} & & \frac{\text{d}[2\sin(\alpha - \frac{\pi}{8})]}{\text{d}\alpha} = 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{8}\right)\\ \frac{\text{d}[\tan^2(\theta)]}{\text{d}\theta} = 2\tan(\theta) + 2\tan^3(\theta))& & \frac{\text{d}[e^{-y^2}]}{\text{d}y} = -2y e^{-y^2}\\ \frac{\text{d}[1/\sqrt{1+u^2}]}{\text{d}u} = -\frac{u}{(1+u^2)^{3/2}} & & \\ \end{align*} \] \[ \scriptsize \frac{\text{d}[\sqrt{z^3 + 3z^2 + 3z + 1}]}{\text{d}z} = \frac{3z^2 + 6z + 3}{2\sqrt{z^3 + 3z^2 + 3z + 1}} \]

Les fonctions réciproques jouent un rôle fondamentales en sciences expérimentales. Il est souvent possible d’inverser une relation entre deux quantités \(a\) et \(b\). C’est à dire qu’on peut exprimer

• \(a\) en fonction de \(b\) (\(a = a(b)\))
• \(b\) en fonction de \(a\) (\(b = b(a)\))

C’est le cas si \(a(b)\) (ou \(b(a)\)) est une bijection (ou plus simplement une fonctions strictement monotone). Dans ce cas, \(a(b)\) et \(b(a)\) sont dites réciproques.

Dans le formalisme mathématique, on note plutôt \(y = f(x)\) et \(x = f^{-1}(y)\).

Les graphes de fonctions réciproques s’obtiennent aisément en permutant les axes des abscisses et des ordonnées.

Au vu des relations de proportionalités entre les différentielles: \[ \text{db} = \frac{\text{d}b}{\text{d}a} \text{d}a \qquad \text{da} = \frac{\text{d}a}{\text{d}b} \text{d}b \] On a évidemment la relation suivante: \[ \frac{\text{d}b}{\text{d}a}(a) = \left( \frac{\text{d}a}{\text{d}b}(b) \right)^{-1} \]

Attention à bien calculer les dérivées au point d’intérêt.

Par exemple, si \(a\) et \(b\) sont des quantités positives, alors \(b=\sqrt{a} \Leftrightarrow a = b^2\).

Sachant que \(\frac{\text{d}a}{\text{d}b} = \frac{\text{d}(b^2)}{\text{d}b} = 2b\), on déduit tout de suite que \(\frac{\text{d}b}{\text{d}a} = \frac{1}{2b}\). Mais pour que ce résultat soit intéressant, il faut le réexprimer en fonction de \(a\), c’est à dire \(\frac{\text{d}b}{\text{d}a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}\).

D’un point de formel, on retrouve la formule de la dérivée de la fonction réciproque. Si \(y = f(x)\) et \(x = f^{-1}(y)\), on a \[ (f^{-1})'(y) = \frac{\text{d}x}{\text{d}y}(y) = \left( \frac{\text{d}y}{\text{d}x}(x) \right)^{-1} = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'\circ f^{-1}(y)} \]

Les fonctions \(\arcsin(x)\), \(\arccos(x)\) et \(\arctan(x)\) sont les réciproques (sur un certain intervalle) des fonctions trigonométriques \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\).

Montrer que (les résultats sont à connaître)

• \(\frac{\text{d}\arcsin(x)}{\text{d}x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
• \(\frac{\text{d}\arccos(x)}{\text{d}x} = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
• \(\frac{\text{d}\arctan(x)}{\text{d}x} = \frac{1}{1+x^2}\)

Indice: Quand \(\cos(x) >0\), on a \(\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}\). Pareil pour \(\sin(x)\).

• TAF: La corde \([AB]\) entre \(A = (a, f(a))\) et \(B = (b, f(b))\) est parallèle à une des tangentes à la courbe (TAF).
• IAF: Si les tangentes extrêmes ont pour pentes \(m\) et \(M\), la courbe est comprise entre \(a\) et \(b\) entre les droites passant par \(A\) et de coefficient directeur \(m\) et \(M\).

C’est une conséquence directe du TAF.

Déterminer l’image de l’intervalle \(I\) par les fonctions suivantes: \[ \small \begin{align} f: x \mapsto e^x - x & & \text{pour } I = \mathbb{R} & & \text{pour } I = (0, e) \\ g: x \mapsto \ln(x+1) -x & & \text{pour } I = (-1, 0) & & \text{pour } I = [0, e] \\ h: x \mapsto \frac{e^x + 1}{x+2} & & \text{pour } I = (-\infty, -2) & & \text{pour } I = \mathbb{R}_+ \\ \end{align} \]

• \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_-\), strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\). De plus, \(\lim_{-\infty} f = \lim_{+\infty} f = +\infty\) et \(f(0) = 1\) donc \(f(\mathbb{R}) = [1, +\infty)\) et \(f((0, e)) = (1, e^e - e)\).
• \(g\) est strictement croissante sur \((-1, 0]\) et strictement décroissante sur \([0, +\infty)\). De plus, \(\lim_{-1} f = -\infty\), \(f(0) = 0\) et \(f(e) = \ln(1+e) - e\) donc \(f((-1, 0)) = (-\infty, 0)\) et \(f([0, e]) = [\ln(1+e) - e, 0]\)
• \(h\) est strictement décroissante sur \((-\infty, -2)\) et strictement croissante sur \([0, +\infty)\). De plus, \(\lim_{-\infty} f = 0\), \(\lim_{-2} f = -\infty\), \(f(0) = 1\) et \(\lim_{+\infty} f = +\infty\) donc \(f((-\infty, -2)) = (-\infty, 0)\) et \(f([0, \infty)) = [1, +\infty)\)

• En fonction de la valeur du paramètre \(m\), indiquer le nombre de solutions de l’équation \(x^3 - x = m\).
• Montrer que l’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) admet une unique solution (notée \(\alpha\)) et que \(-1 < \alpha < 0\).

Corrigé en cours

Trouver toutes les applications dérivables de \(\mathbb{R}_+^*\) telles que \(f(xy) = f(x) + f(y)\) (on peut se rappeler que \(\ln(x)\) est une primitive de \(1/x\))

On raisonne par analyse-synthèse.

Analyse Soit \(f\) une telle fonction. Soit \(y > 0\), on pose \(g_y: x \mapsto f(xy)\). En dérivant \(g_y\), on obtient: \[ g'_y(x) = y f'(xy) = f'(x) \] Et en particulier, en \(x = 1\), \(f'(y) = f'(1) / y\) d’où on déduit que \(f(y) = a (\ln(y) + C)\) avec \(a = f'(1)\) et \(C\) une constante à déterminer. On a également \(f(1) = f(1 \times 1) = 2f(1)\) donc \(f(1) = 0\) et \(aC = 0\), \(a = 0\) ou \(C = 0\). Au final \(f\) doit être de la forme \(f(y) = a\ln(y)\).

Synthèse Soit \(f\) une fonction de la forme \(f(y) = a \ln(y)\) avec \(a \in \mathbb{R}\). On vérifie aisément que \(f\) est dérivable et satisfait \(f(xy) = f(x) + f(y)\) sur \(\mathbb{R}_+^*\)

• Tout polynôme est infiniment dérivable sur \(\mathbb{R}\)
• Toute fraction rationnelle est infiniment dérivable sur son domaine de définition
• \(x \mapsto \sqrt{x}\) est infiniment dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) mais seulement \(C^0\) en \(0\).
• \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\exp\), \(\ln\) sont \(C^\infty\) sur leurs domaines respectifs

Etudier l’existence des dérivées successives de

• \(f: x \mapsto (x - 1)^{3/2}\)
• \(g: x \mapsto \begin{cases} x^2 & \text{si} & x \geq 0 \\ x^3 & \text{si} & x < 0 \end{cases}\)
• \(h: x \mapsto \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & \text{si} & x \neq 0 \\ 0 & \text{si} & x = 0 \end{cases}\)

• \(f\) est définie sur \([1, +\infty)\), \(C^{\infty}\) sur \((1, +\infty)\) mais seulement \(C^1\) (dérivable de dérivée continue) en \(1\).
• \(g\) est \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}^*\) mais seulement \(C^1\) en \(0\).
• \(h\) est \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}^*\) mais seulement \(C^1\) en \(0\).

Soit \(f: I \to \mathbb{R}\) une fonction dérivable qu’on cherche à minimiser (typiquement une énergie, un temps, une surface). Il est parfois plus facile de chercher le minimum de \(f\) en passant par \(f'\) qu’en faisant le tableau de variation complet de \(f\).

Il suffit donc d’étudier les points critiques (généralement peu nombreux) pour savoir où \(f\) est (localement) minimum et de comparer ces mininums pour trouver le minimum global.

On note aussi que maximiser \(f\) revient à minimiser \(-f\), on se contente donc ici de chercher des minimums.

Attention, un minimum est toujours un point critique mais un point critique n’est pas forcément un minimum.

Si \(f\) est deux-fois dérivable, on peut déterminer si un point critique (hors bornes du domaine) est un maximum local ou un minimum local en fonction du signe de \(f''\).

Un pièton peut s’éloigner de \(x\) mètres d’une antenne-relais (située en \(x=0\)). La puissance \(f(x)\) des ondes-relais reçues est donnée par \[f(x) = \frac{e^{-(x - \alpha)^2}}{x}\] avec \(\alpha = 2\).

• À quelle distance doit-il se placer pour recevoir le moins d’ondes-relais?
• Même question s’il ne peut s’éloigner de plus de 3 mètres?
• Où doit-il se placer pour maximiser la réception?
• Même question s’il ne peut pas s’approcher de l’antenne à moins de 1 mètre.

Un campeur est situé à \(3\) kilomètres en aval de sa tente, de l’autre côté d’une rivière qui fait \(1\) km de large. Il nage à \(2\) km/h et marche à \(4\) km/h.

• Quel est le chemin le plus rapide pour rentrer?
• Même question s’il existe un pont en face de sa tente.

On note \(3 - x\) la distance entre la position initiale du campeur et le point où il entre dans la rivière et se met à nager pour rejoindre sa tente.

Pour minimiser son trajet, le campeur marche en ligne droite jusqu’au point de traversée, marchant \(3 - x\) km, puis nage en ligne droite du point de traversée jusqu’à la tente, nageant \(\sqrt{1 + x^2}\) km (d’après le théorème de Pythagore).

Calculer, à l’aide de dérivées, les limites suivantes: \[ \begin{align*} \lim_{x \to 3} \frac{\ln(x) - \ln(3)}{x - 3} & & \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2} \\ \lim_{x \to 1} \frac{e^x - e}{x - 1} & & \lim_{x \to -1} \frac{x^{2017} + 1}{x + 1} \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \lim_{x \to 3} \frac{\ln(x) - \ln(3)}{x - 3} = \frac{1}{3} & & \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2} = \frac{1}{4}\\ \lim_{x \to 1} \frac{e^x - e}{x - 1} = e & & \lim_{x \to -1} \frac{x^{2017} + 1}{x + 1} = 2017 \end{align*} \]

À l’aide de la méthode de votre choix, montrez les inégalités (dites de convexité) suivantes: \[ \small \begin{align*} \forall x \in \mathbb{R} & \quad e^x \geq 1 + x \\ \forall x \geq 0 & \quad xe^x + 1 \geq e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2} \\ \forall x \in (-1, +\infty) & \quad \ln(1+x) \leq x \\ \forall x \leq 0 & \quad 1+x \leq e^x \leq 1 + x + \frac{x^2}{2} \end{align*} \]

On considère la fonction \(f(x) = (x+1)e^{-x}\)

• Montrer par récurrence que pour tout entier \(n \geq 0\), il existe deux réels \(a_n\) et \(b_n\) tels que \(f^{(n)}(x) = (a_n x + b_n)e^{-x}\).
• Expliciter \(a_n\)
• Vérifier que la suite \(c_n = (-1)^n b_n\) est arithmétique. En déduire \(b_n\).