18 novembre 2019

Plan du cours

  • Notions de différentielles
  • Opérations sur les différentielles

Objectifs

  • Différencier une expression (par exemple \(PV = nRT\))
  • Manipuler des différentielles
  • Manipuler des relations entre différentielles

Définition et propriété fondamentale

La différentielle de \(x\) notée \(dx\) (parfois \(\Delta x\) en physique) correspond à une variation infinitésimale (\(\simeq\) toute petite) de \(x\)

Si \(f\) est une fonction numérique (de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\)) et que \(y = f(x)\), alors il existe une relation entre \(dy\) et \(dx\) donnée par \[ dy = f'(x) dx\] où \(f'\) est la fonction dérivée de \(f\).

Interprétation: Une petite variation (de taille \(dx\)) de la quantité \(x\) se traduit par une petite variation (de taille \(dy = f'(x)dx\)) de la quantité \(y\)

Remarque(s)

Il existe un lien essentiel entre différentielles et dérivées (qu’on verra en détails plus tard) mais on peut retenir pour l’instant

\[ \begin{align} y = f(x) & \Rightarrow dy = d(f(x)) \\ & \Leftrightarrow dy = f'(x) dx \\ & \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = f'(x) \end{align} \]

Exercice

Exprimer \(dy\) en fonction de \(dx\) quand \(y\) et \(x\) sont liés par les relations suivantes:

  • \(y = ax + b\) (avec \((a,b) \in \mathbb{R}^2\))
  • \(y = x^n\) (avec \(n \in \mathbb{N}^\star\))
  • \(y = \ln(x)\)
  • \(y = e^{\alpha x}\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\))
  • \(y = x^{\alpha}\) (avec \(\alpha \in \mathbb{R}\)), on pourra écrire \(x^\alpha = e^{\alpha \ln(x)}\)

Intégration d’une différentielle

Si \(f\) est une fonction numérique (de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\)) et que \(y = f(x)\) de dérivée \(f'\) alors \[ \int f'(x) dx = y + K \; (= f(x) + K) \] où \(K\) est une constante arbitraire

Intuition: On peut retenir que \(d\) et \(\int\) sont des opérations (presque) inverses et écrire \[ \int f'(x) dx = \int d(f(x)) = \int dy = y \; (+ K) \] la constante émerge du fait que \(\int\) et \(d\) ne sont pas exactement inverses.

Exercices

À partir des relations suivantes, trouver un lien entre \(y\) et \(x\)

  • \(dy = 5 dx\)
  • \(dy = n x^{n-1} dx\)
  • \(dy = \frac{dx}{x}\)
  • \(dy = \alpha e^{\alpha x} dx\)
  • \(dy = \cos(x)dx\)
  • \(\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}\)

Fonction de plusieurs variables

Une fonction \(f\) de plusieurs variables associe à \((x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) un nombre réel \(f(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}\). On la note \[f: \begin{cases} \mathbb{R}^n & \to & \mathbb{R} \\ (x_1, \dots, x_n) & \mapsto & f(x_1, \dots, x_n) \end{cases}\]

Dans le cas le plus simple (\(n=2\)), on remplace généralement \((x_1, x_2)\) par \((x,y)\) et on définit \(f\) par son expression: \[ f(x, y) = 4x + 3y \] ou encore \[ f: (x, y) \mapsto z = 4x+3y \]

Dérivées partielles (I)

En un point donné, on peut définir plusieurs fonctions partielles d’une seule variable en

  • laissant une variable libre
  • fixant les autres

Par exemple en \((x_0, y_0)\), on peut définir

  • \(g: x \mapsto f(x, y_0)\)
  • \(h: y \mapsto f(x_0, y)\)

et on définit les dérivées partielles de \(f\) à partir de ces fonctions.

Dérivées partielles (II)

Soit \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\). Les dérivées partielles de \(f\) par rapport à \(x\) et \(y\) en \((x_0, y_0)\) sont \(h'(x_0)\) et \(g'(y_0)\) où \(g\) et \(h\) sont définies par \(g(x) = f(x, y_0)\) et \(h(y) = g(x_0, y)\). Elles sont notées \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = g'(x_0) \quad \text{et} \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = h'(x_0) \] Les fonctions correspondantes sont notées \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\).

Remarque Si \(z = f(x,y)\), on peut aussi écrire \(\frac{\partial z}{\partial x}\) et \(\frac{\partial z}{\partial y}\).

Exercice

On suppose que \(x,y,z\) sont liés par les relations suivantes. Calculer les dérivées partielles de \(z\) par rapport à \(x\) et \(y\).

  • \(z = x + y\)
  • \(z = xy\)
  • \(z = x / y\)
  • \(z = x \ln(y)\)
  • \(z = e^{x+y}\)
  • \(z = x^{\alpha} y^{\beta}\)
  • \(z = x^3 y^2 + \sin^2(y) + 3x\)

Dérivées partielles: généralisations

  • On peut assez facilement généraliser les définitions précédentes à des fonctions \(n\) variables.
  • On peut également calculer des dérivées secondes.

Sous des conditions vérifiées pour toutes les fonctions du cours, le théorème de Schwartz garantit que l’ordre de dérivation est indifférent: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \frac{\partial z}{\partial y}\right] = \frac{\partial}{\partial y}\left[ \frac{\partial z}{\partial x}\right] = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \]

Théorème de Scharwz

On va vérifier le théorème de Schwarz sur \(z = e^{xy}\).

Si on dérive par rapport à \(y\) puis par rapport à \(x\): \[ \begin{align} \frac{\partial z}{\partial y} = & \frac{\partial e^{xy}}{\partial y} = & x e^{xy} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = & \frac{\partial xe^{xy}}{\partial x} = & e^{xy} + xy e^{xy} \\ \end{align} \] Si on dérive par rapport à \(x\) puis par rapport à \(y\): \[ \begin{align} \frac{\partial z}{\partial x} = & \frac{\partial e^{xy}}{\partial x} = & y e^{xy} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = & \frac{\partial ye^{xy}}{\partial y} = & e^{xy} + xy e^{xy} \\ \end{align} \] Et le théorème est donc vérifié sur cet exemple.

Différentielle Totale

  • On sait relier \(dy\) et \(dx\) quand il existe une relation entre \(y = f(x)\).
  • Peut-on faire la même chose avec \(dz\), \(dx\) et \(dy\) si on a une relation \(z = f(x, y)\)?

Si \(z = f(x, y)\) où \(f\) est une fonction numérique (de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}\)), alors la différentielle totale de \(z\) est \[ dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

Différentielle Totale

On peut retrouver ce résultat par analogie avec les différentielles de fonctions univariées: \[ dy = \frac{dy}{dx} dx \] Les deux différences majeures concernent le: - nombre de différentielles (une par variables dépendante): \(dx \to dx, dy, \dots\) - les coefficients multiplicatifs (dérivées partielles au lieu de dérivées droites): \(\frac{dy}{dx} \to \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \dots\)

Exercice

Calculer la différentielle totale des fonctions suivantes:

  • \(z = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\)
  • \(z = x^3 y^2 + \sin^2(y) + 3x\)
  • \(PV = nRT\) (en prenant successivement \(P\), \(V\) et \(T\) commes variables réponses)

Fonctions composées

Quand on écrit \(\frac{\partial f}{\partial x}\), on désigne par convention la dérivée partielle par rapport à la variable \(x\) avec l’idée implicite que \(f\) s’écrit sous la forme \(f(x, y) = \dots\).

Mais comment faire face à des expressions de la forme \(f(x - y, x +y)\)?

On va composer les différentielles totales et identifier les coefficients pour trouver les dérivées partielles. C’est le même raisonnement que pour la dérivée de fonctions composées: \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\).

On commence par poser une fonction intermédiaire

\[ g(x, y) = f(\underbrace{u}_{= x- y}, \underbrace{v}_{= x + y}) \]

Fonctions composées (II)

Avant d’écrire des égalités entre les différentielles totales:

\[ \begin{align} \text{d}g(x, y) & = \text{d}f(u, v) \\ \frac{\partial g}{\partial x} \text{d}x + \frac{\partial g}{\partial y} \text{d}y & = \frac{\partial f}{\partial u} \color{\orange}{\text{d}u} + \frac{\partial f}{\partial v} \color{\lightgreen}{\text{d}v} \\ \end{align} \] Puis on développe les différentielles totales de \(u\) et \(v\) \[ \begin{align} \frac{\partial g}{\partial x} \text{d}x + \frac{\partial g}{\partial y} \text{d}y & = \frac{\partial f}{\partial u}\color{\orange}{\left[\frac{\partial u}{\partial x} \text{d}x + \frac{\partial u}{\partial y} \text{d}y \right]} + \frac{\partial f}{\partial v} \color{\lightgreen}{\left[\frac{\partial v}{\partial x} \text{d}x + \frac{\partial v}{\partial y} \text{d}y \right]} \\ \end{align} \]

Avant de remplacer les différentielles partielles de partielles de \(u\) et \(v\) par rapport à \(x\) et \(y\) par leurs valeurs.

\[ \color{\orange}{\frac{\partial u}{\partial x} = 1 \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -1} \quad \color{\lightgreen}{\frac{\partial v}{\partial x} = 1 \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 1} \]

Fonctions composées (III)

En substituant les dérivées partielles par leurs valeurs en triant les termes \(\text{d}x\) et \(\text{d}y\) ensemble, on obtient: \[ \begin{align} \frac{\partial g}{\partial x} \text{d}x + \frac{\partial g}{\partial y} \text{d}y & = \frac{\partial f}{\partial u}\left[\text{d}x - \text{d}y \right] + \frac{\partial f}{\partial v} \left[\text{d}x + \text{d}y \right] \\ \color{\lightblue}{\frac{\partial g}{\partial x}} \text{d}x + \color{\pink}{\frac{\partial g}{\partial y}} \text{d}y & = \color{\lightblue}{\left[\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \right]} \text{d}x + \color{\pink}{\left[-\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \right]} \text{d}y \\ \end{align} \]

Par identification des coefficients

\[ \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \quad \quad \frac{\partial g}{\partial y} = -\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \] Attention, on a utilisé la notation \(\frac{\partial f}{\partial u}\) pour bien distinguer \(u\) et \(x\) mais il s’agit bien de la dérivée partielle par rapport à la première coordonnée, traditionnellement notée \(\frac{\partial f}{\partial x}\)

Fonctions composées (IV)

En remplaçant les dérivées partielles par les écritures habituelles et en substituant \(u\) et \(v\) par leurs expressions, on aboutit à

\[ \begin{align} \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) & = \frac{\partial f}{\partial x}(x-y, x+y) + \frac{\partial f}{\partial y}(x-y, x+y) \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) & = -\frac{\partial f}{\partial x}(x-y, x+y) + \frac{\partial f}{\partial y}(x-y, x+y) \end{align} \]

Où \(\frac{\partial f}{\partial x}\) représente bien la dérivée partielle de \(f\) par rapport à sa première coordonnée (indépendamment de l’expression de cette première coordonnée).

Fonctions composées (V)

De façon générale, si \(g(x, y) = f(u(x, y), v(x, y))\) avec \(f\), \(g\), \(u\) et \(v\) dérivable, on a

\[ \begin{align} \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) & = \frac{\partial f}{\partial u}(u, v) \times \frac{\partial u}{\partial x}(x, y) + \frac{\partial f}{\partial v}(u, v) \times \frac{\partial v}{\partial x}(x, y) \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) & = \frac{\partial f}{\partial u}(u, v) \times \frac{\partial u}{\partial y}(x, y) + \frac{\partial f}{\partial v}(u, v) \times \frac{\partial v}{\partial y}(x, y) \\ \end{align} \] Ou de façon compacte \[ \begin{align} \frac{\partial g}{\partial x} & = \frac{\partial f}{\partial u} \times \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \times \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial g}{\partial y} & = \frac{\partial f}{\partial u} \times \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \times \frac{\partial v}{\partial y} \\ \end{align} \]

Différentielle logarithmique

Dans certains cas (produits, puissances), il est parfois plus facile de calculer une différentielles totale en échelle logarithmique (pratique pour des incertitudes relatives)

\[ \begin{align} PV = nRT & \Leftrightarrow \ln(P) + \ln(V) = \ln(nR) + \ln(T) \\ & \Rightarrow \frac{dP}{P} + \frac{dV}{V} = \frac{dT}{T} \\ \\ P = V^\gamma & \Leftrightarrow \ln(P) = \gamma \ln(V) \\ & \Rightarrow \frac{dP}{P} = \gamma \frac{dV}{V} \\ & \Rightarrow dP = \gamma\frac{P}{V}dV \\ & \Rightarrow dP= \gamma V^{\gamma -1} dV \end{align} \]

Application (I)

On considère un cylindre droit de hauteur \(h = 50\) cm et de rayon \(r=10\) cm et de volume \(V\). On s’intéresse à la variation de volume quand on augmente \(h\) de \(2\) cm et diminue \(r\) de \(1\) cm.

  • Calculer exactement la variation de volume \(\Delta V\)
  • Calculer la variation de volume \(\Delta V\) de façon approchée (en l’approchant par la différentielle \(dV\))
  • Calculer la variation de volume relative \(\frac{\Delta V}{V}\) (de façon approchée)

Application (II)

On effectue une transformation adiabatique et réversible sur un gaz parfait pour le faire passer de l’état \((P_0, V_0)\) à l’état \((P_1, V_1)\).

On sait que \(\delta Q = dU - dW\), que pour ce gaz l’énergie interne dépend uniquement de la témperature (\(dU = n C_v dT\)) et que le travail des forces de pression s’écrit \(dW = -PdV\). On a donc

\[ 0 = \frac{\delta Q}{T} = n C_v \frac{dT}{T} + P \frac{dV}{T} = nC_v \frac{dT}{T} + nR \frac{dV}{V} \]

De plus \(\frac{dT}{T} = \frac{dP}{P} + \frac{dV}{V}\) et \(R / C_v = \gamma - 1\) donc \[ \begin{align} 0 = n C_v \left[ \frac{dT}{T} + (\gamma - 1)\frac{dV}{V} \right] = nC_v \left[ \frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} \right] \end{align} \]

Application (III)

Au final, on arrive à \[ \frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0 \] qui peut se réécrire \[ PV^{\gamma} = Constante \]

Et on retrouve la loi de Laplace pour les détentes adiabatiques.

Mesure d’incertitude

À l’aide des différentielles logarithmiques, relier les incertitudes relatives, i.e. de la forme \(\frac{\Delta V}{V}\),

  • du volume d’une sphère et de son rayon
  • de la surface d’un disque et de son rayon
  • du volume d’un cube et de son côté
  • de la surface d’un carré et de son côté
  • du volume d’un cône et de son rayon
  • du volume d’un cône et de sa hauteur

Plus de calculs (I)

Calculer les dérivées partielles des fonctions \(f(x,y)\) suivantes

  • \(f(x, y) = (x^2 - 3xy + y^4)/(2x + 3y)\)
  • \(f(x, y) = e^{5\cos(xy)}\)
  • \(f(x, y) = (x^2 + xy + y^2)\cos(xy)\)
  • \(f(x, y) = 2xy/e^{x+y}\)

Plus de calculs (II)

  • Calculer toutes les dérivées d’ordre \(\leq 2\) de la fonction \(f(x,y) = x^2 + 3xy^5 + \cos(xy)\)
  • Calculer \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) pour \(f(x,y) = \cos(ax^py^q) + \sin(bx^ry^s)\) avec \((a,b)\) des réels et \(p, q, r, s\) des entiers positifs.
  • Trouver les points qui vérifient simultanément \(\frac{\partial f}{\partial x} = 0\) et \(\frac{\partial f}{\partial y} = 0\) pour \(f(x,y) = x^2 + xy + y^2\) et \(f(x,y) = x^3y + xy^2\)
  • Calculer les dérivées partielles \(\frac{\partial f}{\partial x}\), \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), \(\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\), \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\) et \(\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial z}\) pour \(f(x, y, z) = (x^2 + xy + yz)e^{x+2y}\)