• Notions de différentielles
• Opérations sur les différentielles

• Différencier une expression (par exemple \(PV = nRT\))
• Manipuler des différentielles
• Manipuler des relations entre différentielles

Interprétation: Une petite variation (de taille \(dx\)) de la quantité \(x\) se traduit par une petite variation (de taille \(dy = f'(x)dx\)) de la quantité \(y\)

Il existe un lien essentiel entre différentielles et dérivées (qu’on verra en détails plus tard) mais on peut retenir pour l’instant

\[ \begin{align} y = f(x) & \Rightarrow dy = d(f(x)) \\ & \Leftrightarrow dy = f'(x) dx \\ & \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = f'(x) \end{align} \]

Exprimer \(dy\) en fonction de \(dx\) quand \(y\) et \(x\) sont liés par les relations suivantes:

• \(y = ax + b\) (avec \((a,b) \in \mathbb{R}^2\))
• \(y = x^n\) (avec \(n \in \mathbb{N}^\star\))
• \(y = \ln(x)\)
• \(y = e^{\alpha x}\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\))
• \(y = x^{\alpha}\) (avec \(\alpha \in \mathbb{R}\)), on pourra écrire \(x^\alpha = e^{\alpha \ln(x)}\)

Intuition: On peut retenir que \(d\) et \(\int\) sont des opérations (presque) inverses et écrire \[ \int f'(x) dx = \int d(f(x)) = \int dy = y \; (+ K) \] la constante émerge du fait que \(\int\) et \(d\) ne sont pas exactement inverses.

À partir des relations suivantes, trouver un lien entre \(y\) et \(x\)

• \(dy = 5 dx\)
• \(dy = n x^{n-1} dx\)
• \(dy = \frac{dx}{x}\)
• \(dy = \alpha e^{\alpha x} dx\)
• \(dy = \cos(x)dx\)
• \(\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}\)

Dans le cas le plus simple (\(n=2\)), on remplace généralement \((x_1, x_2)\) par \((x,y)\) et on définit \(f\) par son expression: \[ f(x, y) = 4x + 3y \] ou encore \[ f: (x, y) \mapsto z = 4x+3y \]

En un point donné, on peut définir plusieurs fonctions partielles d’une seule variable en

• laissant une variable libre
• fixant les autres

Par exemple en \((x_0, y_0)\), on peut définir deux fonctions

• \(g_{y_0}: x \mapsto f(x, y_0)\) qui dépend uniquement de \(x\) (\(y_0\) est un paramètre)
• \(h_{x_0}: y \mapsto f(x_0, y)\) qui dépend uniquement de \(y\) (\(x_0\) est un paramètre)

et on définit les dérivées partielles de \(f\) à partir de ces fonctions.

Remarque Si \(z = f(x,y)\), on peut aussi écrire \(\frac{\partial z}{\partial x}\) et \(\frac{\partial z}{\partial y}\).

On suppose que \(x,y,z\) sont liés par les relations suivantes. Calculer les dérivées partielles de \(z\) par rapport à \(x\) et \(y\).

• \(z = x + y\)
• \(z = xy\)
• \(z = x / y\)
• \(z = x \ln(y)\)
• \(z = e^{x+y}\)
• \(z = x^{\alpha} y^{\beta}\)
• \(z = x^3 y^2 + \sin^2(y) + 3x\)

On va vérifier le théorème de Schwarz sur \(z = e^{xy}\).

Si on dérive par rapport à \(y\) puis par rapport à \(x\): \[ \begin{align} \frac{\partial z}{\partial y} = & \frac{\partial e^{xy}}{\partial y} = & x e^{xy} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = & \frac{\partial xe^{xy}}{\partial x} = & e^{xy} + xy e^{xy} \\ \end{align} \] Si on dérive par rapport à \(x\) puis par rapport à \(y\): \[ \begin{align} \frac{\partial z}{\partial x} = & \frac{\partial e^{xy}}{\partial x} = & y e^{xy} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = & \frac{\partial ye^{xy}}{\partial y} = & e^{xy} + xy e^{xy} \\ \end{align} \] Et le théorème est donc vérifié sur cet exemple.

On peut retrouver ce résultat par analogie avec les différentielles de fonctions univariées: \[ dy = \frac{dy}{dx} dx \] Les deux différences majeures concernent le: - nombre de différentielles (une par variables dépendante): \(dx \to dx, dy, \dots\) - les coefficients multiplicatifs (dérivées partielles au lieu de dérivées droites): \(\frac{dy}{dx} \to \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \dots\)

Calculer la différentielle totale des fonctions suivantes:

• \(z = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\)
• \(z = x^3 y^2 + \sin^2(y) + 3x\)
• \(PV = nRT\) (en prenant successivement \(P\), \(V\) et \(T\) commes variables réponses)

En remplaçant les dérivées partielles par les écritures habituelles et en substituant \(u\) et \(v\) par leurs expressions, on aboutit à

\[ \begin{align} \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) & = \frac{\partial f}{\partial x}(x-y, x+y) + \frac{\partial f}{\partial y}(x-y, x+y) \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) & = -\frac{\partial f}{\partial x}(x-y, x+y) + \frac{\partial f}{\partial y}(x-y, x+y) \end{align} \]

Où \(\frac{\partial f}{\partial x}\) représente bien la dérivée partielle de \(f\) par rapport à sa première coordonnée (indépendamment de l’expression de cette première coordonnée).

De façon générale, si \(g(x, y) = f(u(x, y), v(x, y))\) avec \(f\), \(g\), \(u\) et \(v\) dérivable, on a

\[ \begin{align} \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) & = \frac{\partial f}{\partial u}(u, v) \times \frac{\partial u}{\partial x}(x, y) + \frac{\partial f}{\partial v}(u, v) \times \frac{\partial v}{\partial x}(x, y) \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) & = \frac{\partial f}{\partial u}(u, v) \times \frac{\partial u}{\partial y}(x, y) + \frac{\partial f}{\partial v}(u, v) \times \frac{\partial v}{\partial y}(x, y) \\ \end{align} \] Ou de façon compacte \[ \begin{align} \frac{\partial g}{\partial x} & = \frac{\partial f}{\partial u} \times \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \times \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial g}{\partial y} & = \frac{\partial f}{\partial u} \times \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \times \frac{\partial v}{\partial y} \\ \end{align} \]

Dans certains cas (produits, puissances), il est parfois plus facile de calculer une différentielles totale en échelle logarithmique (pratique pour des incertitudes relatives)

\[ \begin{align} PV = nRT & \Leftrightarrow \ln(P) + \ln(V) = \ln(nR) + \ln(T) \\ & \Rightarrow \frac{dP}{P} + \frac{dV}{V} = \frac{dT}{T} \\ \\ P = V^\gamma & \Leftrightarrow \ln(P) = \gamma \ln(V) \\ & \Rightarrow \frac{dP}{P} = \gamma \frac{dV}{V} \\ & \Rightarrow dP = \gamma\frac{P}{V}dV \\ & \Rightarrow dP= \gamma V^{\gamma -1} dV \end{align} \]

On considère un cylindre droit de hauteur \(h = 50\) cm et de rayon \(r=10\) cm et de volume \(V\). On s’intéresse à la variation de volume quand on augmente \(h\) de \(2\) cm et diminue \(r\) de \(1\) cm.

• Calculer exactement la variation de volume \(\Delta V\)
• Calculer la variation de volume \(\Delta V\) de façon approchée (en l’approchant par la différentielle \(dV\))
• Calculer la variation de volume relative \(\frac{\Delta V}{V}\) (de façon approchée)

Au final, on arrive à \[ \frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0 \] qui peut se réécrire \[ PV^{\gamma} = Constante \]

Et on retrouve la loi de Laplace pour les détentes adiabatiques.

À l’aide des différentielles logarithmiques, relier les incertitudes relatives, i.e. de la forme \(\frac{\Delta V}{V}\),

• du volume d’une sphère et de son rayon
• de la surface d’un disque et de son rayon
• du volume d’un cube et de son côté
• de la surface d’un carré et de son côté
• du volume d’un cône et de son rayon
• du volume d’un cône et de sa hauteur

Calculer les dérivées partielles des fonctions \(f(x,y)\) suivantes

• \(f(x, y) = (x^2 - 3xy + y^4)/(2x + 3y)\)
• \(f(x, y) = e^{5\cos(xy)}\)
• \(f(x, y) = (x^2 + xy + y^2)\cos(xy)\)
• \(f(x, y) = 2xy/e^{x+y}\)

• Calculer toutes les dérivées d’ordre \(\leq 2\) de la fonction \(f(x,y) = x^2 + 3xy^5 + \cos(xy)\)
• Calculer \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) pour \(f(x,y) = \cos(ax^py^q) + \sin(bx^ry^s)\) avec \((a,b)\) des réels et \(p, q, r, s\) des entiers positifs.
• Trouver les points qui vérifient simultanément \(\frac{\partial f}{\partial x} = 0\) et \(\frac{\partial f}{\partial y} = 0\) pour \(f(x,y) = x^2 + xy + y^2\) et \(f(x,y) = x^3y + xy^2\)
• Calculer les dérivées partielles \(\frac{\partial f}{\partial x}\), \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), \(\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\), \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\) et \(\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial z}\) pour \(f(x, y, z) = (x^2 + xy + yz)e^{x+2y}\)