• L’ensemble \(\mathbb{C}\)
• Exponentielle complexe
• Applications à la trigonométrie
• Équations dans \(\mathbb{C}\) (ensemble, en classe)

• Manipuler des nombres complexes (addition, multiplication)
• Choisir entre forme algébrique et forme exponentielle
• Avoir une visio géométrique de \(\mathbb{C}\)
• Connaître les formules de Moivre et d’Euler
• Savoir retrouver les égalités trigonométriques
• Trouver une racine carré dans \(\mathbb{C}\).

Remarques - Un complexe \(z\) est un réel si et seulement si \(Im(z) = 0\). - Un complexe \(z\) dont la partie réelle est nulle (\(Re(z) = 0\)) est dit imaginaire pur. On note \(i\mathbb{R}\) l’ensemble des imaginaires purs.

On a les mêmes règles d’opérations dans \(\mathbb{C}\) que dans \(C\) (et même un peu plus avec la conjugaison)

On peut voir un nombre complexe \(z\) comme un couple \((a, b)\) de nombres réels. On peut donc représenter les complexes comme des points dans le plan \(\mathcal{P}\) muni du repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

Pour les propriétés qui suivent, faites des dessins pour les visualiser.

Le module est la généralisation à \(\mathbb{C}\) de la valeur absolue sur \(\mathbb{R}\). C’est pour ça qu’on utilise la même notation.

On rappelle que la sommes de réels positifs est nulle si et seulement si tous ces réels sont nuls: \[\forall (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}_+^n, x_1 + \dots + x_n = 0 \Leftrightarrow x_1 = \dots x_n = 0\]

C’est immédiat avec ce qu’on a vu en trigonométrie. Comme \(z = a + ib\) est de module \(1\) on a \(a^2 + b^2 = 1\) et \(a\) et \(b\) peuvent donc s’écrire comme le \(\cos\) et le \(\sin\) d’un angle \(\theta\) bien choisi.

Remarques - Il y a une infinité d’arguments, l’argument n’est défini qu’à \(2\pi\) près. - On parle d’un argument, pas de l’argument d’un complexe - Si on se restreint à un intervalle \(I\) de longueur \(2\pi\) (par exemple \(]-\pi, \pi]\)), l’argument est bien unique dans \(I\).

On rappelle que la rotation \(R(O, \alpha)\) est l’application de \(\mathcal{P} \to \mathcal{P}\) qui à tout point \(M\) associe le point \(M'\) qui vérifie: - \(OM = OM'\) - \((\vec{OM}, \vec{OM'}) = \alpha\)

On sait que \(\mathcal{P}\) est identifié à \(\mathbb{C}\). On peut donc se demander s’il existe un lien entre l’affixe \(z\) de \(M\) et celle \(z'\) de \(M'\).

La réponse est oui. Si \(z_\alpha\) est un nombre complexe tel que \(|z_\alpha| = 1\) et que \(\alpha\) est un argument de \(z_\alpha\), alors \(z' = z_\alpha z\). Autrement dit, multiplier par un nombre complexe de module \(1\) et d’argument \(\alpha\) revient à faire une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\) sur les images.

Remarques La définition de \(e^{i\theta}\) peut sembler arbitraire mais la proposition précédente montre que c’est la “bonne” définition: c’est celle qui étend les propriétés de l’exponentielle des réels purs aux imaginaires purs.

• Remarque Il existe une infinité de \((\rho, \theta)\) mais ils sont liés les uns aux autres, comme le montre la proposition suivante.

Remarques La définition et la proposition montre que l’exponentielle complexe étend bien l’exponentielle réelle de façon cohérente sur \(\mathbb{C}\) (on l’avait déjà vu pour \(i\mathbb{R}\))

Remarque Contrairement aux nombres réels positifs, \(z^x\) n’est pas bien défini quand \(z\) est complexe (alors que pour \(a > 0\), on a \(a^x = e^{x\ln(a)})\). On retiendra donc que \(z^x\) (avec \(z\) complexe) n’est bien défini que pour \(x \in \mathbb{Z}\).

Dans les exercices suivants, l’objectif est de se ramener à des sommes connues (Sommes des termes d’une suite géométrique, Binôme de Newton). On peut par exemple essayer de calculer \(A_n + iB_n\) avant d’isoler ses parties réelles et imaginaires. On peut aussi noter que \(\cos(k\theta) + i\sin(k\theta) = (e^{i\theta})^k\).

Calculer, pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(\theta \in \mathbb{R}\):

• \(A_n = \sum_{k=0}^n \cos(k\theta)\) et \(B_n = \sum_{k=0}^n \sin(k\theta)\)
• \(A_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cos(k\theta)\) et \(B_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \sin(k\theta)\)

On l’a vu dans la définition de l’exponentielle complexe mais il existe un lien fort entre les fonctions trigonométriques et l’exponentielle complexe. Ce lien est formalisé par les formules d’Euler

Un autre lien fort qui existe est la formule de Moivre:

Il est plus aisé de retrouver les formules d’additions à partir de la définition de l’exponentielle complexe que de les apprendre par coeur. En effet:

\[\begin{align} \cos(a+b) & = Re(e^{i(a+b)}) = Re(e^{ia} \times e^{ib}) \\ & = Re((\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)) \\ & \quad + i(\cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b)) ) \\ & = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \\ \end{align}\]

On montre de même que \[ \sin(a+b) = \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b)\]

Toutes les autres formules en découlent.

L’idée est d’exprimer \(\cos^n(x)\sin^p(x)\) pour \(x \in \mathbb{R}\) et \(n,p \in \mathbb{N}\) en fonction des \(\cos(kx)\) et des \(\sin(kx)\). Pour ce faire on utilise les formules d’Euler.

On commence par écrire \[\cos^n(x)\sin^p(x) = \left( \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^n \left( \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \right)^p\]

Ensuite, on développe (en utilisant le binôme de Newton) et on utiliser les formules d’Euler dans l’autre sens pour simplifier.

On chercher à linéariser \(\cos^3(x)\)

\[\begin{align} \cos^3(x) & = \left( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3 \\ & = \frac{1}{8}\left(e^{i3x} + 3e^{i2x}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-i2x} + e^{-i3x}\right) \\ & = \frac{1}{8} \left(e^{i3x} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-i3x}\right) \\ & = \frac{1}{8} \left(e^{i3x} + e^{-i3x} + 3(e^{ix} + e^{-ix})\right) \\ & = \frac{1}{8} \left(2\cos(3x) + 6\cos(x)\right) = \frac{1}{4}(3\cos(x) + \cos(3x)) \\ \end{align}\]

C’est la transformation inverse de la précédente. On veut exprimer \(\cos(nx)\) en fonction de \(\cos(x)\) et \(\sin(x)\). Pour cela, on applique la formule de Moivre: \[\begin{align} \cos(nx) & = Re(\cos(nx) + i\sin(nx)) \\ & = Re((\cos(x) + i\sin(x))^n) \end{align} \] Il suffit alors de développer en utilisant le binôme de Newton et de ne garder que la partie réelle.

Pour \(n = 3\), on a \[\begin{align} (\cos(x) + i\sin(x))^3 & = \cos^3(x) + 3i\cos^2(x)\sin(x) \\ & \quad - 3\cos(x)\sin^2(x) -i\sin^3(x) \\ & = \cos^3(x) - 3\cos(x)\sin^2(x) \\ & \quad + i(3\cos^2(x)\sin(x) - \sin^3(x)) \\ \end{align} \]

On en déduit \[\begin{align} \cos(3x)& = \cos^3(x) - 3\cos(x)\sin^2(x) \\ \sin(3x)& = 3\cos^2(x)\sin(x) - \sin^3(x) \\ \end{align} \]

Soit \(Z\) un nombre complexe, on cherche à calculer une racine carrée de \(Z\) c’est à dire un nombre complexe \(z\) tel que \(z^2 = Z\).

Comme dans \(\mathbb{R}\), si \(z\) est solution, alors \(-z\) mais contrairement à \(\mathbb{R}\), on ne peut pas parler de la racine carrée puisque la condition \(z > 0\) n’a pas de sens pour un complexe.

Si \(Z\) est donné sous forme algébrique, il faut faire plus d’efforts…

Si \(Z\) est donné sous forme algébrique \(Z = A + iB\) (avec \(A, B\) réels), on va chercher les racines carrés \(z\) sous forme algébrique \(z = a + ib\) en utilisant 2 propriétés:

• \(z^2 = Z\)
• \(|z|^2 = |Z|\)

La première (\(z^2 = Z\)) donne: \[\begin{align} z^2 = A + iB & \Leftrightarrow (a^2-b^2) + 2iab = A + iB \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - b^2 & = & A \\ 2ab & = & B \end{cases} \end{align} \]

La deuxième (\(|z|^2 = |Z|\)) donne \[a^2 + b^2 = \sqrt{A^2 + B^2}\]

On peut résoudre le premier système: \[ \begin{align*} \begin{cases} a^2 - b^2 & = & A \\ a^2 + b^2 & = & \sqrt{A^2 + B^2} \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} 2a^2 & = & \sqrt{A^2 + B^2} + A \\ 2b^2 & = & \sqrt{A^2 + B^2} - A\end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} a & = & \pm \sqrt{\frac{\sqrt{A^2 + B^2} + A}{2}} \\ b & = & \pm \sqrt{\frac{\sqrt{A^2 + B^2} - A}{2}} \end{cases} \end{align*} \]

On a donc \(4\) possibilités pour \((a, b)\). Le signe de \(B = 2ab\) permet de n’en conserver que deux des 4.

On essaie de calculer les racines carrés de \(5 - 12i\). Il n’y a pas de forme exponentielle intéressante pour ce complexe donc on passe par la forme algébrique. On cherche une racine carré \(z = a + ib\) sous forme algébrique. On a d’une part: \[ \begin{eqnarray*} z^2 = 5 - 12i & \Leftrightarrow & (a^2 - b^2) + 2iab = 5 - 12i \\ & \Leftrightarrow & \begin{cases} a^2 - b^2 & = & 5 \\ 2ab & = & -12 \end{cases} \end{eqnarray*}\] Et d’autre part \(|z|^2 = a^2 + b^2 = |5 - 12i| = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

On doit donc résoudre le système: \[\begin{cases} a^2 - b^2 & = & 5 \\ a^2 + b^2 & = & 13 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 & = & 9 \\ b^2 & = & 4 \end{cases}\]

Qui donne \(a = \pm 3\) et \(b = \pm 2\). Comme \(ab = 6 < 0\), les deux solutions sont: \[z_1 = 3-2i \text{ et } z_2 = -3 + 2i\].

Remarque Contrairement aux équations de degré 2 dans \(\mathbb{R}\), les équations de degré \(2\) dans \(\mathbb{C}\) ont toujours deux solutions (potentiellement confondues).

Remarques

• La proposition précédente est utile pour trouver des nombres dont on connaît la somme \(S\) et le produit \(P\): il suffit de trouver les racines du polynôme \(X^2 -SX + P\).
• Un usage plus pragmatique consiste à vérifier vos calculs: une fois trouvées les deux racines d’un trinôme en passant par le discriminant, vous pouvez vérifier leur cohérence avec la proposition précédente.
• Un autre usage pragmatique consiste à accélérer les calculs: si vous trouvez une racine évidente \(z_1\), l’autre est forcément égale à \(c/(az_1)\). Par exemple \(1\) est racine évidente de \(X^2 - 3X + 2\), l’autre est forcément \(2\).

On note \(l\) et \(L\) les dimensions la place. D’après l’énoncé \(lL = 19600\) et \(2(l+L) = 560\) donc \(l+L = 280\). On sait que \(l\) et \(L\) sont solutions de l’équation (d’inconnue \(x\)): \[(x-l)(x-L) = 0\] Cette équation peut se réécrire \[x^2 - (l+L)x +lL = 0\]

En substituant avec les valeurs de l’énoncé, \(l\) et \(L\) sont solutions de l’équation \[x^2 - 280x + 19600 = 0\] En résolvant, on obtient \(l=L=140\). On pourrait pu aller plus vite en utilisant l’information que la place des Vosges est carrée…